Der lange Weg zur Durtonleiter

‒ Die Entwicklungsgeschichte der Durtonleiter ‒

© Volker Schubert, 2026-05-17

Die Geschichte der Durtonleiter

Die Geschichte der Dur-Tonleiter

Die Entwicklung der Durtonleiter

„c-d-e-f-g-a-h-c“ - Jedes Kind kann sie schon singen. Sie wirkt natürlich. Sie ist allgegenwärtig. Ohne sie ist westliche Musik nicht vorstellbar. Die Durtonleiter ist seit dem Barock dermaßen dominant, dass ihr anscheinend eine geheime Qualität innewohnt, die sie einzigartig macht. Tatsächlich musste aber auch sie sich erst langsam entwickeln. Bei genauerer Betrachtung ist man sogar erstaunt über die verschlungenen Pfade und Umwege, die die Entwicklung nahm. Wir wollen dem langen Weg zur Durtonleiter folgen und versuchen zu verstehen, warum der Weg so schwierig war.

Da sich viele Konzepte nur schrittweise entwickelten und eine eindeutige Zordnung von Konzept zu einem ersten historischen Erscheinen unmöglich ist, wählen wir folgende Unterteilung:

• Teil 1 - Konzepte: Vorstellung und Analyse wichtiger Konzepte in ihrer gereiften Form
• Teil 2 - Historische Entwicklung: Tatsächliche Entwicklung und Reifung von Konzepten
• Anhang: Sammlung von Symbolen und Formeln, Quellenverzeichnis, und mehr

Einleitung

Schon in der Steinzeit hatte der Mensch offensichtlich Spaß daran gehabt, Töne zu produzieren. So wurden Flöten gefunden, die vor mehr als 35000 Jahren hergestellt worden waren.

Das Schlagen von Körpern war sicher die erste Art der Tonerzeugung. Bei Benutzung des Jagdbogens könnte die gespannte Saite als Tonerzeuger erkannt worden sein. Im Laufe der Zeit entdeckte der Mensch verschiedene Arten der Tonerzeugung, und fand dabei natürlich auch heraus, wie sich unterschiedliche Tonhöhen erzeugen ließen. Neben den Materialien des Instruments waren offensichtlich auch bestimmte Größen der Tonerzeuger von Bedeutung, wie die Position der Löcher einer Flöte, die Länge und Dicke von Saiten, und das Gewicht eines Körpers. Ein früher Forscher hat dann irgendwann entdeckt, dass der Ton einer Saite gut zum Ton der halb so langen Saite passt, indem man etwa die Saite in der Mitte niederdrückt.

Teil 1 - Konzepte

Intervalle

Zunächst sind ein paar Begriffe zu klären. Die Höhe eines Tones ist durch seine Grundfrequenz gegeben. Zwei Töne kann man zueinander in Beziehung setzen, indem man das Verhältnis der beiden Grundfrequenzen bildet. Statt von Frequenzverhältnissen sprechen Musiker lieber von Intervallen, und betrachten diese als Abstände von Tönen. Intervalle einfacher Frequenzverhältnisse wie 2:1 und 3:2 bekommen Namen: Das Intervall zu 2:1 heißt Oktave, das zu 3:2 heißt Quinte. Offensichtlich kommt es für die Identifizierung eines Intervalls nicht auf die echten Tonhöhen, sondern nur auf das mathematische Verhältnis der Frequenzen an. Beispielsweise bildet das Tonpaar 400 Hz und 600 Hz dasselbe Intervall wie das Tonpaar 200 Hz und 300 Hz. Das Frequenzverhältnis ist bei beiden Paaren 2:3, also handelt es sich beidesmal um eine Quinte – oder eigentlich, um die Quinte. Als Einführung in die physikalische Natur der Intervalle siehe zum Beispiel die Videoreihe Schubert01.

Zwischen einem Frequenzverhältnis und dessen Bruchzahl werden wir nicht streng unterscheiden; in Formeln sind Bruchzahlen oft praktischer. Traditionell benutzt man in der Musik für das Aneinanderfügen von Intervallen eine additive Sprechweise, wie etwa „Quinte plus Quarte ergibt eine Oktave“, tatsächlich multipliziert man aber die zugehörigen Frequenzverhältnisse, wie hier 3:2 · 4:3 = 2:1. Um keine Missverständnisse aufkommen zu lassen, werden wir zwischen Intervallen und dem Rechnen mit Frequenzverhältnissen unterscheiden, auch wenn ein Intervall vollständig durch sein Frequenzverhältnis definiert ist. Für ein Frequenzverhältnis p bezeichne p' das zugehörige Intervall.

Optionaler Einschub: Additives Intervall-Modell

Dieser Übergang von Bruchzahlen, die man multiplizieren muss, zu Intervallen, die man stattdessen summieren will, hat schon zu viel Verwirrung geführt, ist aber ganz banal. Wir definieren Summe und Differenz von Intervallen einfach so, das sie zum Multiplizieren und Dividieren von Bruchzahlen passen. Wir wollen etwa festlegen, was die Summe von zwei Intervallen P und Q sein soll. Wir wissen ja, dass zu jedem Intervall eine Bruchzahl gehört, also zu P etwa die Bruchzahl p. Das können wir schreiben als P = p'. Und Q kann man ebenfalls schreiben als Q = q' mit einem geeigneten Frequenzverhältnis q. Wir definieren jetzt:

p' + q' = (p ⋅ q)'

Das bedeutet: Wir multiplizieren einfach die beiden Bruchzahlen, und nehmen dann das zugehörige Intervall. Beispiel Quinte plus Quarte:

Quinte + Quarte = 3⁄2' + 4⁄3' = (3⁄2 ⋅ 4⁄3)' = 2⁄1' = Oktave

Man kann kleinere Intervalle wie Quinte und Quarte nun auch als Teil der Oktave ansehen, und man kann fragen, wie groß die Quinte im Vergleich zur Oktave ist, was also ihr Anteil ist. Jetzt muss man aber aufpassen, denn jetzt betreibt man plötzlich eine Art Multiplikation auf den Intervallen, und das hat nichts mit der Multipikation auf den Bruchzahlen zu tun. Das ist jetzt zwangsläufig Mathematik, und das krumme Ergebnis ist:

1 Quinte ≈ 0,58 Oktaven  und  1 Quarte ≈ 0,42 Oktaven

Wie gesagt: Diese Zahlen haben nicht direkt etwas mit 3⁄2 und 4⁄3 zu tun, sondern nur über einen komplizierten, mathematischen Zusammenhang (Logarithmus), den wir in diesem Artikel aber gar nicht brauchen. Wichtig ist zunächst nur die unterschiedliche Sprech- bzw. Betrachtungsweise.

Gegenüberstellung von Frequenzverhältnis und Oktavfaktor (additive Sichtweise) am Beispiel von Quarte und Quinte.
Man beachte, dass die Achse zum Frequenzverhältnis von 1 bis 2 reicht, aber die Achse zum Oktavfaktor von 0 bis 1.

Im Folgenden werden wir die additive Sichtweise benutzen, wenn wir aufeinandergesetzte Intervalle auf einer Achse darstellen. Hier hat jeder Intervalltyp eine feste Breite, egal ob er weiter unten oder oben auftritt. Dies entspricht auch der Art, wie Töne und Intervalle auf der Klaviatur angeordnet sind.

Intervalle mit einfachen Frequenzverhältnissen, womit wir Verhaltnisse von kleinen Ganzzahlen meinen, werden wir entsprechend als einfache Intervalle bezeichnen. Das einfachste Intervall hat das Frequenzverhältnis 2:1. Wir nennen es heute Oktave, und nach Verabredung können wir es als (2:1)' schreiben. Die beiden Töne einer Oktave empfinden wir Menschen nicht als wirklich unterschiedlich, eher als helle und dunkle Kopien voneinander. Die Einfachheit des Frequenzverhältnisses fällt somit zusammen mit der Reinheit der Klangempfindung. Es war deshalb schon immer naheliegend, die Oktave als das reinste und elementarste Intervall zu betrachten. Wir wollen das Oktavverhältnis 2:1 mit α abkürzen und die Oktave mit dem großen Alpha Α.

Das einfachste Intervall nach der Oktave ist (3:2)' – das was wir heute (reine) Quinte nennen. Die Quinte wird allgemein als reinstes und elementarstes Intervall nach der Oktave akzeptiert, denn einerseits ist 3:2 das einfachste denkbare Zahlenverhältnis nach 2:1, andererseits wird die Reinheit des Intervalls auch vom Höreindruck bestätigt. Wir kürzen das Quintverhältnis 3:2 mit β ab und die Quinte mit dem großen Beta Β.

Das einfachste Intervall nach der Quinte ist (4:3)' – das was wir heute (reine) Quarte nennen. Sein Frequenzverhältnis 4:3 ist nur etwas komplizierter als 3:2. Wir kürzen das Quintverhältnis 4:3 mit γ ab und die Quinte mit dem großen Gamma Γ. Man sieht sofort, dass Quinte plus Quarte eine Oktave ergeben, da 3:2 · 4:3 = 2:1 ist. Also ist Β + Γ = Α und βγ = 2. Man sagt, Quinte und Quarte seien Komplementärintervalle. Bezieht man Richtungen mit ein und betrachtet einen Oktavabstand als Gleichklang, kann man auch sagen: Eine Quarte nach oben ist dasselbe wie eine Quinte nach unten. In diesem Sinn sind Quarte und Quinte Spiegelbilder voneinander.

Da also die Quarte nur etwas komplizierter als die Quinte ist, und außerdem Quarte und Quinte Spiegelbilder sind, wird auch die Quarte allgemein als elementar angesehen, auch wenn sie nicht ganz so rein wie die Quinte klingt.

Eine aufsteigende Folge von Intervallen nennt man gewöhnlich „Tonleiter“; wir sprechen lieber von Tonstufenleiter, um damit die Unabhängigkeit von absoluten Frequenzen zu betonen.

Da der Mensch bei einer Tonfolge mit ansteigender Tonhöhe den Eindruck hat, nach einer Oktave wieder am Anfang angekommen zu sein, ist die Oktave auch die natürliche Einheit einer Tonstufenleiter, d.h. man braucht nur Tonstufen bis zur ersten Oktave zu betrachten.

Quintenschichtung

Wie kommt aber von den Bausteinen Quinte und Quarte zu einer Tonstufenleiter, also einer Zerteilung der Oktave, die fein genug ist, um interessante Melodien bilden zu können?

Ein bekannter Ansatz ist ein mathematisches Konstrukt, das man heute als Quintenschichtung kennt. Sie war in der Antike und im mittelalterlichen Europa der Standard zur Konstruktion einer Tonstufenleiter. Die Idee ist, dass man wiederholt Quinte auf Quinte setzt:

Diese Folge von Intervallen steigt schnell an, und schon 2Β ist größer als die Oktave (als Frequenzverhältnisse 9/4 > 8/4). Doch das Ziel ist ja, die Oktave selbst in kleine Teile zu unterteilen. Überschreitet also das neu konstruierte Intervall eine Oktave, geht man wieder eine Oktave nach unten, d.h. man ersetzt 2Β durch 2Β−Α (also 9/4 durch 9/8). Damit erreicht man, dass die Intervalle nie größer als eine Oktave werden. Dieses Vorgehen nennt sich Oktavreduktion.

Eine alternative Durchführung der Quintenschichtung mit Oktavreduktion ist, abwechselnd eine Quinte nach oben und dann wieder eine Quarte nach unten zu gehen. Hiermit hat man die Oktavreduktion in jeden zweiten Schritt gleich mit eingebaut. Mit diesem Verfahren wurden Saiteninstrumente eventuell tatsächlich gestimmt.

Je mehr Quinten man aufeinander geschichtet hat, um so mehr Oktaven muss man nach unten gehen, um wieder in der Ausgangsoktave zu landen. Bei 4 Quinten muss man beispielsweise 2 Oktaven zurückgehen, erhält also 4Β−2Α:

Die so gewonnene Oktav-reduzierte Quintenschichtung kann man schreiben als:

Man beachte, dass diese Folge von Intervallen nicht der Größe nach ansteigt, sondern größenmäßig auf und ab springt. Zwar ist die Quintenschichtung selbst eine ansteigende Folge, aber nach Oktavreduktion gilt das natürlich nicht mehr.

Mit den Abkürzungen Τ = 2Β−Α und τ = ββ/2 = 9:8 (für das zugehörige Frequenzverhältnis) kann man die Formeln etwas vereinfachen, z.Β. durch Umformungen wie 3Β−Α = Β+2Β−Α = Β+Τ. Damit schreibt sich die Oktav-reduzierte Folge der Quintenschichtung etwas einfacher als

Da der Mensch die Oktave fast als Gleichklang wahrnimmt, wird die Oktavreduktion in der Regel nicht explizit erwähnt, und damit ist das Verfahren zur Erzeugung von Tonstufen das einfache Prinzip der Quintenschichtung.

Aber ist das nun eine musikalisch sinnvolle Konstruktion einer Tonstufenleiter? Zwar ist die Quinte sehr einfach, doch liefert die Quintenschichtung mit Oktavreduktion alles andere als besonders einfache mathematische Verhältnisse, beispielsweise ist ττ = 81:64. Die formale Schönheit der Quintenschichtung täuscht doch eigentlich über die unschönen Intervalle in der resultierenden Tonstufenleiter hinweg.

Die Quintenschichtung hat aber noch eine faszinierende Eigenschaft. Beim 13. Glied dieser Folge, also 6Τ, passiert etwas besonderes: Das Frequenzverhältnis von 6Τ ist etwa 2,03. Also entspricht das Intervall 6Τ ungefähr der Oktave Α, was ein glücklicher Zufall und keineswegs ein Naturgesetz ist. Es ergeben sich damit 12 Tonstufen bzw. Intervalle, die kleiner als die Oktave sind; der 13. Ton ist fast die Oktave selbst.

Im Prinzip könnte man die Folge noch weiterführen, aber man ist so nah an der Oktave und hat mit den zwölf Tonstufen auch schon eine so feine Aufteilung der Oktave, dass man hier die Folge gern abbricht und 6Τ mit Α identifiziert. Um eine echte geschlossene Tonstufenleiter zu bekommen, muss man dazu die Tonschritte etwas anpassen.

Betrachtet man die 12 Schritte als angepasst, nennt man die so gewonnene 12-stufige Tonstufenleiter der Oktave die chromatische Tonstufenleiter, und die generelle Tatsache, dass man durch die Schichtung von 12 Quint-nahen Intervallen eine Oktave erreicht, den Quintenzirkel. In der chromatischen Tonstufenleiter entsprechen 7 Tonschritte ungefähr der Quinte und 5 Tonschritte ungefähr der Quarte.

Ganztöne und Diatonik

Der Quintenzirkel mit Oktavreduktion liefert eine Zerlegung der Oktave in 12 Intervalle, was nicht wenig ist. Es ist nicht davon auszugehen, dass dies in vorantiker Zeit jemals theoretisch oder praktisch ausgeführt wurde. Eine Tonleiter war unter anderem für das Stimmen von Saiteninstrumenten interessant, wofür 12 Tonstufen sehr viel gewesen wären.

Aber auch mit der Schichtung von weniger Quinten kann man zu einer recht feinen Zerlegung der Oktave kommen. Wir präsentieren zunächst die Lösung, und begründen dann, warum diese sinnvoll ist:

Man nehme nur 6 Quinten. Aus der reduzierten Quintenschichtung 0, Β, Τ, Β+Τ, 2Τ, Β+2Τ, 3Τ erhält man durch Sortierung eine 7-stufige Tonstufenleiter:

Mit ergänzender Oktave lautet sie also:

Die Tonschritte, d.h. die Differenzen der Tonstufen, sind:

Die beiden Schritte ungleich Τ sind gleich groß, wie man leicht sieht: Β−3Τ = Β−Τ−2Τ = Γ−2Τ = Α−Β−2Τ. Ihre Größe ist ungefähr die Hälfte von Τ, denn β / τ³ ≈ 1,05 und τ^1/2 ≈ 1,06.

Auf jeden Fall sind die Tonschritte bei obiger Tonstufenleiter nie größer als Τ. Der eins kürzeren Oktav-reduzierten Quintenschichtung fehlt dagegen das von 6Β stammende 3Τ, welches zwischen 2Τ und Β liegt. Damit hätte diese Tonstufenleiter mit einem Tonschritt von ungefähr 1,5Τ hier eine deutliche Lücke im Vergleich zu den anderen Tonschritten.

Mit Τ als Höchstabstand kann man aber zufrieden sein. Die zugehörige Tonstufenleiter ist ein guter Kompromiss zwischen dem Wunsch nach möglichst wenig Stufen (7 Stufen, wenn man die Oktave nicht mitzählt) und dem Wunsch nach möglichst geringem Abstand der Töne (Abstand Τ oder weniger). Das als 2Β−Α eingeführte Intervall Τ wird so zu einer Grundeinheit, die eine ausreichend dichte Lage von Tonstufen anzeigt. Sie wurde von den Griechen Tonos genannt, später lateinisch Tonus, heute (pythagöräischer) Ganztonschritt oder Ganztonabstand. Mit unseren bisherigen Abkürzungen ist Τ = 2Β−Α = Β−Γ.

Da die beiden kleinen Schritte ungefähr halb so groß wie der Ganztonschritt sind, nennt man sie einen Halbtonschritt – um präzise zu sein, einen pythagoräischen Halbtonschritt. Wir kürzen den pythagoräischen Halbtonschritt Β−3Τ mit dem großen Eta Η ab und dessen Verhältnis 2⁸:3⁵ mit dem kleinen Eta η (nach griechisch „ημι“ = „(h)emi“ = halb). Mit Kürzeln ausgedrückt ist also Τ ≈ 2Η, bzw. τ ≈ ηη.

Damit lassen sich die Tonschritte obiger 7-stufiger Folge mit Höchstabstand Τ plus Oktave schreiben als

Τ , Τ , Τ , Η , Τ , Τ , Η .

Die Tonstufenleiter besteht offenbar aus 5 Ganztonschritten und 2 Halbtonschritten. Verlängert man über die Oktave hinaus, erhält man eine endlose Leiter mit folgendem Muster von Tonschritten:

Zwischen zwei Halbtonschritten Η befinden sich abwechselnd 2 oder 3 Ganztonschritte; 7 Schritte zusammen ergeben immer die Oktave. Dieses Muster ohne ausgezeichneten Anfang nennen wir das pythagoräische diatonische Tonschrittschema. Das diatonische Tonschrittschema ist genau das, was auf einer heutigen Klaviatur durch die weißen Tasten repräsentiert ist. Auch wenn es mit dem Namen Pythagoras verknüpft ist, könnten seine Ursprünge bedeutend älter sein.

Jeder 7-stufige Abschnitt dieses Musters heißt heute eine pythagoräische diatonische Tonstufenleiter. Durch Wahl eines Startpunktes aus den 7 Möglichkeiten erhält man aus dem Tonschrittschema wieder eine konkrete diatonische Tonstufenleiter. Bis ins Mittelalter hinein wurde allerdings kein besonderer Startpunkt bzw. Ruhepunkt bevorzugt, was sich in der Vielzahl der antiken Oktavgattungen und mittelalterlichen Kirchentonarten (Modi) zeigte.

Eine spezielle pythagoräische diatonische Tonstufenleiter wollen wir jetzt schon herausstellen, auch wenn sie lange keine theoretische Beachtung fand: Es bezeichne Γ die Quarte. Dann nennen wir folgende pythagoräische diatonische Tonstufenleiter die pythagoräische Durtonstufenleiter:

Das pythagoräische diatonische Tonschrittschema enthält aufgrund seiner Konstruktion viele Quarten und Quinten, wie wir am Beispiel der pythagoräischen Durtonstufenleiter sehen:

Ditonus und Terz

Geht man davon aus, dass Instrumente diatonisch gestimmt wurden, hat manch Musiker sicher bemerkt, dass Zweischrittabstände, also das, was wir heute als Terzen bezeichnen, angenehm und interessant klangen. Nicht so farblos und hohl wie Quinte und Quarte, aber auch nicht so dissonant wie der Tonus. Dies galt für die große Terz Τ+Τ, aber auch für die kleine Terz Τ+Η.

Mathematisch lässt sich der Wohlklang leicht begründen, denn die pythagoräische große Terz 2Τ, der Ditonus des diatonischen Tonschrittschemas, hat fast das gleiche Frequenzverhältnis wie die reine große Terz (5:4)', die wir mit dem großen Delta Δ abkürzen, d.h. 2Τ ≈ Δ:

ττ = (9:8) · (9:8) = 81:64 ≈ 80:64 = 5:4

Und das, was in Wahrheit wirklich gut klingt, ist eben die reine große Terz mit ihrem einfachen Frequenzverhältnis. Durch leichtes Verstimmen kommt man so absichtlich oder unabsichtlich vom Ditonus zur reinen großen Terz.

Der Vollständigkeit wegen betrachten wir noch die reine kleine Terz. Sie ist das nächsteinfache Intervall nach der großen Terz, hat also das Frequenzverhältnis 6:5, und ist damit der Abstand von großer Terz zu Quinte, kurz Β−Δ, denn (3/2) / (5/4) = 6/5.

Insgesamt haben wir also folgende Terz-Intervalle:

Dreiklänge

Als Doppelterz-Dreiklang bezeichnen wir die Schichtung von zwei Terzen, groß oder klein, egal ob beide rein oder pythagoräisch sind. Im pythagoräischen diatonischen Tonschrittschema ist ein Doppelterz-Dreiklang also dadurch ausgezeichnet, dass immer 2 Schritte zwischen den Tönen liegen.

Durch Verschiebung von Tönen um eine Oktave erhält man Umkehrungen eines Dreiklangs; den Doppelterz-Dreiklang bezeichnet man dann als Grundform des Dreiklangs; bei der ersten Umkehrung wird der Grundton eine Oktave nach oben verschoben, bei der zweiten Umkehrung geschieht dies mit Grundton und Terz. Mit „Dreiklang" meinen wir meist keine drei konkreten Töne, sondern nur die beteiligten Intervalle unabhängig von der Tonhöhe. Wenn wir konkrete Frequenzverhältnisse eines Dreiklangs angeben, beziehen wir uns immer auf die Grundform.

Naheliegende reine Doppelterz-Dreiklänge sind die beiden Zerlegungen der Quinte in reine große Terz (5:4)' und reine kleine Terz (6:5)', die wir heute als (reinen) Dur-Dreiklang und Moll-Dreiklang (in Grundform) kennen. Deren Unterschied ist, dass bei Dur die große Terz auf dem Grundton sitzt, und bei Moll die kleine:

Die dreigliedrigen Frequenzverhältnisse der reinen Doppelterz-Dreiklänge sind damit, in gekürzter Form,

oder in erweiterter Form, hilfreich zum Vergleich:

In Grundform, erster Umkehrung und zweiter Umkehrung hat der Dur-Dreiklang, oder Dur-Akkord, offensichtlich die Frequenzverhältnisse

Der Dur-Akkord klingt vertrauter, normaler und netter als der Moll-Akkord. Warum das so ist, und ob das reine Gewohnheit ist, darüber gibt es viele Theorien. Ein gewichtiges Argument für die Bedeutung des Dur-Akkordes ist, dass er in der Obertonreihe jedes natürlich vorkommenden Tones auf einer niederen Oktave in Grundform mitklingt (nämlich auf der doppelten Oktave). Das bedeutet: Eigentlich hören wir immer automatisch Dur-Akkorde mit, auch wenn sie gar nicht absichtlich gespielt werden.

Der Dur-Dreiklang mit seinem Frequenzverhältnis 4:5:6 ist auch mathematisch einfacher als der Moll-Dreiklang mit seinem Verhältnis 10:12:15. Tatsächlich ist der Dur-Dreiklang sogar der einfachste denkbare Dreiklang, was die Zahlenverhältnisse angeht: 1:2:3 und 2:3:4 sind im Wesentlichen Kombinationen aus Quinte und Oktave, und 3:4:5 ist praktisch schon der Dur-Dreiklang, nur nicht in Grundform, sondern als Umkehrung (unterster Ton von 3:4:5 eine Oktave nach oben ergibt 4:5:6).

Die reine Durtonstufenleiter

Das pythagoräische diatonische Tonschrittschema war ein frühes mathematisches, aber nicht sehr musikalisches Konstrukt. Wir definieren jetzt eine harmonischere Tonstufenleiter, die reine Durtonstufenleiter, deren wesentliches Kennzeichen die Benutzung von reinen Terzen bzw. reinen Dreiklängen ist. Sie wurde im Laufe der Geschichte mehrfach entdeckt, unterschiedlich begründet und wieder vergessen. Wir werden später sehen, wie dieses wiederholte Entdecken genau stattgefunden hat, und wie die reine Durtonstufenleiter die bessere Begründung der Durtonstufenleiter ist als die pythagoräische.

Mit den Bezeichnungen Δ für die reine große Terz 5:4 und Γ für die Quarte stellt sich die reine Durtonstufenleiter so dar:

Die Frequenzverhältnisse der Schritte der reinen Durtonstufenleiter liegen nahe bei denen der pythagoräischen Durtonstufenleiter:

Man kann dies dann so formulieren: Die reine Durtonstufenleiter hat ebenfalls wie eine pythagoräische Tonstufenleiter 5 Ganztonschritte und 2 Halbtonschritte, allerdings gibt es

• zwei Größen von Ganztonschritten, den bekannten großen (pythagoräischen) Ganztonschritt (Intervall Τ, Verhältnis τ) und den neuen kleinen Ganztonschritt (Intervall Τ⁻, Verhältnis τ⁻),
• und einen neuen großen Halbtonschritt (Intervall Η⁺, Verhältnis η⁺), der etwas größer ist als der pythagoräische Halbtonschritt:

In diesem Sinne ist die reine Durtonstufenleiter ebenfalls eine diatonische Tonstufenleiter, da sie dasselbe Ganztonschritt-Halbtonschritt-Muster hat wie die pythagoräische:

Τ , Τ⁻ , Η⁺ , Τ , Τ⁻ , Τ , Η⁺

Zusammengefasst hat die reine Durtonstufenleiter folgende Stufen und Schritte:

Wie nicht anders zu erwarten enthält die reine Durtonstufenleiter aufgrund ihrer Konstruktion viele reine Terzen, Quarten und Quinten:

Bei der reinen Durtonstufenleiter tauchen fast auf jeder Stufe ein reiner Dur- oder Moll-Dreiklang auf:

Vergleich von pythagoräischer und reiner Durtonstufenleiter

Beim Vergleich der beiden Durtonstufenleitern wird der Unterschied von Ditonus und reiner großer Terz wichtig, deshalb definieren wir das syntonische Komma Kappa Κ, was wir auch einfach als Komma bezeichnen:

Zunächst vergleichen wir die Stufen und Schritte beider Durtonstufenleitern, ausgedrückt in Grundintervallen.

Es folgt der Vergleich der Frequenzquotienten der Stufen.

Ein Gefühl für die Abweichung bekommt man am besten, wenn man die Tonstufenleitern graphisch auf der Intervallskala vergleicht:

Man kann nun pythagoräische und reine Durtonstufenleiter als verschiedene Stimmungen einer idealisierten Durtonstufenleiter auffassen, genannt pythagoräische Stimmung und reine Stimmung der Durtonstufenleiter. Die Durtonstufenleiter als Abstraktion hat somit gar keine konkrete Stimmung, sondern ist nur über ihr Muster an abstrakten Ganztonschritten Τ̃ ≈ Τ und Halbtonschritten Η̃ ≈ Η definiert:

Τ̃ , Τ̃ , Η̃ , Τ̃ , Τ̃ , Τ̃ , Η̃

Über die gleiche Abstraktion definiert man das diatonische Tonschrittschema.

Tonalität und Funktionen

Der Begriff Tonalität beschreibt das Empfinden, dass es in einem diatonischen Tonschrittschema eine Art "Zuhause" gibt, insbesondere dass in einer Durtonstufenleiter der Durdreiklang auf der ersten Stufe ein Zuhause bildet. Ziehen die Töne in eine fremde tonale Landschaft entsteht ein Bestreben, wieder nach Hause zurückzukehren. Dieses ist gekennzeichnet durch eine Spannung und Unruhe, die aufgelöst werden will.

Schon bei Melodien und bei Zweiklang-Folgen ergeben sich Spannungsbögen und Ruhepunkte. Gewisse Tonstufen streben in Richtung Ruhepunkte. Bei der Zweiklangfolge [cg], [dg] stellt sich beispielsweise eine Spannung ein, die wieder nach [cg] aufgelöst werden will. Oder auch bei [cg], [hf], deren Spannung nach [ce] aufgelöst werden will. Bei Dreiklängen sind diese Spannungstendenzen noch ausgeprägter. So fordert die Dreiklangfolge [ceg], [hdf] die Auflösung zurück nach [ceg].

Dadurch erhalten Dreiklänge gewisse Funktionen. Für eine Durtonstufenleiter gibt es die Funktionen eines Grundakkords (Tonika) und eines stark zur Tonika strebenden Partner-Akkords auf der Quinte (Dominante bzw. Dominant-Sept-Akkord), außerdem noch die eines neutraleren zweiten Partner-Akkords auf der Quarte (Subdominante).

Auf die Frage, warum die Dominante so stark zur Tonika strebt, gibt es keine einfache Antwort. Es scheinen mehrere Faktoren zusammen dafür verantwortlich zu sein:

• Es gibt ein tonales Zentrum, ein "Zuhause", von dem man sich während der zeitlichen Entwicklung vorübergehend entfernt.
• Die Dominante ist der Dur-Akkord auf der Quinte.
• Die Dominante kann durch eine Quarte ergänzt werden, und bildet so einen Dominant-Sept-Akkord, der noch stärkeres Auflösungsverlangen zeigt.
• Im Dominant-Akkord bildet die Terz einen Leitton, also einen Halbton unterhalb des Zieltons.
• Im Dominant-Sept-Akkord bildet Terz und Septime einen Tritonus, also eine sehr instabile Dissonanz.

Während der Dominant-Sept-Akkord schon im statischen Zustand zur Tonika strebt, benötigt man für die Septimen-freie Dominante eine zeitliche Entwicklung, also ein tonales Zentrum. Wesentliche statische Bestandteile scheinen Quinte, Quarte und Leitton (große Septime) zu sein.

Das Phänomen der Dominante ist damit deutlich komplexer als die Erkenntnis, dass große Terz und Ditonus nahe beieinander liegen. Insbesondere kann die Dominante nicht auf einfache mathematische Weise befriedigend erklärt werden. Der Höreindruck von Spannung und Auflösung scheint das wesentliche Kennzeichen zu sein.

Hilfreich oder gar notwendig für das Identifizieren einer Dominantfunktion ist wohl Mehrstimmigkeit, denn die Spannungstendenzen erhöhen sich, je mehr Bestandteile der Dominante bzw. des Dominant-Sept-Akkords vorhanden sind, entweder im Kontext der Melodie, oder gleich im Zusammenkang. Dies ist auch der Grund, warum die Dominante relativ spät entdeckt wurde, obwohl das diatonische Tonschrittschema schon lange in Gebrauch war. Dazu unten mehr.

Teil 2 - Historische Entwicklung

Nach vorangegangenen Definitionen und Betrachtungen kehren wir zur eigentlichen Geschichte der Durtonstufenleiter zurück. Wir beschränken uns dabei auf das Gebiet des Fruchtbaren Halbmonds in der Vorgeschichte, den Mittelmeerraum in der Antike, und auf Europa.

Vorgeschichte und Frühgeschichte

Oktave, Quinte und Quarte wurden in der Kulturgeschichte des Menschen sicher früh entdeckt. Ob die Quintenschichtung (s.o.) jemals in der oben dargestellten systematischen Form durchgeführt, und wie und wann das pythagoräische diatonische Tonschrittschema (s.o.) wirklich gefunden wurde, liegt im Dunkeln. Mesopotamische Musiktexte aus der Zeit um 1800 v. Chr. belegen das Vorhandensein von sieben Saitennamen, systematischen Paarungen und Zyklen von Stimmungen. Die Interpretation als strukturierte Tonsysteme mit sieben Stufen ist plausibel, und auch eine Deutung als diatonisch organisierte Tonordnungen ist in sich konsistent; eindeutige Hinweise auf eine zugrunde liegende Quintenschichtung oder auf Diatonik im engeren Sinne fehlen jedoch. (Rahn01, Abstract).

Es ist mehr als wahrscheinlich, dass bei Benutzung des diatonischen Tonschrittschemas auf mehrsaitigen Instrumenten öfters mehrere Saiten gleichzeitig erklangen, und damit auch Intervalle außer Quinte und Quarte. Die Frage ist vielmehr, wie gezielt solche Zweistimmigkeit eingesetzt wurde. In der ersten bekannten schriftlichen Fixierung eines Musikstückes (Hurritische Hymnen), die einer Kultur auf dem Gebiet des heutigen Syrien um das Jahr 1400 v. Chr. zugeordnet wird, sind ziemlich sicher auch Folgen von Intervallen (genauer: Saitenpaaren) notiert. Eine vorgeschlagene Interpretation ist, dass es sich hier tatsächlich um die Notation einer zweistimmigen, harmonischen Begleitung handelt (Kilmer01, Kilmer02, Hagel01), doch gibt es auch ganz andere Deutungen.

Antike

Spätestens um 500 v. Chr. beschäftigten sich Menschen des griechischen Kulturkreises intensiv mit Zahlenverhältnissen, und bauten wie die Pythagoräer sogar ihr Weltmodell darauf auf. Wichtig waren einfache ganzzahlige Verhältnisse wie 2:1, 3:2 oder 4:3, da die Zahlen 1, 2, 3 und 4 für die Pythagoräer eine metaphysische Bedeutung hatten. Diese Harmonielehre wurde auf viele Aspekte der Welt angewandt, auch auf Tonintervalle. Direkten Zugang zu Frequenzverhältnissen gab es damals nicht, und so wurden messbare Eigenschaften ins Verhältnis gesetzt, die offenbar in direktem Zusammenhang mit den Tonhöhen standen, wie etwa die Länge von Saiten. Mit diesen Intervallen gelangte man leicht zur pythagoräischen Diatonik, die für Untersuchungen auf die Quarte beschränkt wurde und dann aus 2 Ganztönen und einem Halbton bestand. Wie Rekonstruktionen nahelegen gab schon Philolaos (ca. 470–400 v. Chr.) eine Beschreibung davon an.

Die musikalische Praxis war flexibler und benutzte unterschiedlichste Zerlegungen der Quarte, am sinnvollsten in drei Teile. Solche Zerlegungen der Quarte in drei Teile wurden Tetrachorde genannt, und nach Konvention nahm die Schrittgröße von oben nach unten ab. Mit zwei Tetrachorden und einem Ganztonschritt erhält man offensichtlich auch eine 7-stufige Tonstufenleiter der Oktave:

Man teilte die Tetrachorde in 3 Klassen, die Genera (Geschlechter) ein. Das diatonische Genus (Η̃, Τ̃, Τ̃) verallgemeinert den pythagoräischen diatonischen Tetrachord (Η, Τ, Τ), indem man von den genauen Frequenzverhältnissen abstrahiert, und nur einen großem Tonschritt Τ̃ und einen kleinen Tonschritt Η̃ annimmt, wobei der kleine ungefähr halb so groß wie der große ist. Andere Tetrachord-Geschlechter waren weniger ausgeglichen und besaßen teilweise sehr kleine Tonschritte kombiniert mit einem sehr großen.

Zwar lebten Pythagoräer und Musiker in zwei verschiedenen Welten, doch waren wohl in beiden Welten Tetrachorde als kleinstes Ordnungsprinzip eines Tonraums wichtig.

Archytas von Tarent (ca. 420–350 v. Chr.) beschrieb bestimmte Tetrachorde indem er ihre mathematischen Verhältnisse angab, durchaus mit nicht-pythagoräischen Zahlen wie (28:27, 8:7, 9:8). Aristoxenos von Tarent (ca. 360–300 v. Chr.) betrachtete zwar auch Tetrachorde, lehnte aber prinzipiell Zahlen zur Begründung und zur Beschreibung von Musik-relevanten Tetrachorden ab, womit er klar den pythogoräischen Ansatz in Frage stellte. Statt konkreter Tetrachorde beschrieb er bestimmte Tetrachord-Typen, die durch ein kontinuierliches Spektrum von konkreten Tetrachorden realisiert werden konnten. Er legte sie über Vergleiche und Randbedingungen fest, nicht über Zahlen, und bewertete deren musikalische Bedeutung nach klanglichen Kriterien.

Während Tetrachorde eine wichtige Grundeinheit blieben, lenkte Aristoxenos das Interesse auch auf ein größeres zusammenhängendes Tonschrittschema, in Form des Systema Teleion. Zu allen Tetrachorden gab es zugehörige Tonstufenleitern der Oktave, also auch den Genus des diatonischen Tonschrittschemas. Dieses neue Konzept von Tonstufenleitern wurde dann um 300 v. Chr. von Euklid in Die Teilung des Kanons mathematisch beschrieben, allerdings eingeschränkt auf das pythagoräische diatonische Tonschrittschema, also mit Frequenzverhältnissen, die sich aus der Quintenschichtung ergeben.

Durch die nicht-pythagoräische Unterteilung der Quarte tauchte bei der Beschreibung von Tetrachorden auch die reine große Terz auf. Schon Archytas selbst beschrieb einen enharmonischen Tetrachord, der die reine Terz als große Stufe enthielt. Um das Jahr 0 herum gab Didymos der Musiker einen diatonischen Tetrachord an, bei dem die beiden großen Töne eine reine Terz bildeten, nämlich als 10:9 · 9:8 = 5:4, unter Einführung eines verkleinerten Ganztons 10:9. Hiermit wurde implizit auch die Ähnlichkeit der reinen Terz mit dem Pythoräischen Ditonus durch Gegenüberstellung der Produktdarstellungen, 5:4 = 10:9 · 9:8 ≈ 9:8 · 9:8, offensichtlich.

In seinem Werk Harmonik Ptolemäus01 von ca. 150 n. Chr. untersuchte Claudius Ptolemäus systematisch mathematisch plausible Tetrachorde und deren Tonstufenleitern.

Optionaler Einschub: Bewertung des Werks Harmonik

Tetrachorde werden mit mathematischen Verhältnissen beschrieben. Auswahl und Bewertung der Zerlegungen erfolgen dabei anhand mathematischer Eleganz. Ptolemäus kritisiert sowohl die Pythagoräer, denen er eine eingeschränkte und unzureichende Untersuchung der Tetrachordteilungen vorwirft, als auch Aristoxenos aufgrund dessen primär wahrnehmungsorientierter Herangehensweise. Oft wird Ptolemäus deshalb als empirisch ausgerichteter Theoretiker dargestellt, für den das Urteil des Gehörs eine wichtige Rolle bei der Bewertung mathematischer Hypothesen spielt. Tatsächlich bleibt eine systematische akustische Überprüfung jedoch aus und beschränkt sich auf die Annahme, dass mathematisch überzeugende Proportionen auch dem Gehör gefallen müssten. Seine Harmonik erscheint daher weniger als akustisch validierte Theorie denn als formale Proportionenlehre.

Auch folgenden, diatonischen Tetrachord behandelt Ptolemäus, den er „gespannter diatonischer Tetrachord“ (diatonon syntonon) nennt:

16:15, 9:8, 10:9

Er hat die gleiche Zelegung der Terz wie der Tetrachord des Didymos, allerdings sind die beiden Ganztöne vertauscht. Die durch Kombination zweier dieser syntonon-Tetrachorde und eines verbindenden Ganztonschritts ergibt sich die Tonstufenleiter

[16:15, 9:8, 10:9], 9:8, [16:15, 9:8, 10:9]

Oft wird behauptet, dass diese Tonstufenleiter bei seinem Vergleich der Stimmungen gut abschneide, doch tatsächlich ist das nicht der Fall. Es ist nur eine – bezüglich seiner Kriterien plausible – Zerlegung unter mehreren. Um so erstaunlicher ist es, dass er sich der Nähe und der in der Praxis anzutreffenden Identifikation von Ditonus und reiner großer Terz durchaus bewusst ist (Ptolemäus02).

Zur weiteren Beschreibung nutzen wir den kleinen Ganztonschritt Τ⁻ und den großen Halbtonschritt Η⁺, welche wir bei der Vorstellung der reinen Durtonstufenleiter (s.o.) eingeführt hatten. Durch Wiederholung von Ptolemäus' syntonischer Tonstufenleiter gelangen wir zum einem unendlichen Tonschrittschema, das wir als das reine diatonische Tonschrittschema oder syntonische diatonische Tonschrittschema bezeichnen wollen:

… Η⁺ Τ Τ⁻ Τ Η⁺ Τ Τ⁻ Η⁺ Τ Τ⁻ Τ Η⁺ Τ Τ⁻ Η⁺ Τ Τ⁻ Τ Η⁺ Τ Τ⁻ …

Bei Wahl eines geeigneten Grundtons erhält man daraus gerade die reine Durtonstufenleiter. Hier taucht also die reine Stimmung das erste Mal in der Geschichte auf.

Der Diatonon syntonon und die daraus abgeleitete Tonstufenleiter hatten aber zum damaligen Zeitpunkt und bis zur Renaissance keinen Einfluss auf die Musiktheorie. Das lag zum einen daran, dass die Harmonik nie ins Lateinische übersetzt wurde, obwohl Ptolemäus auf dem Gebiet der Astronomie als Autorität galt, und seine Werke der Astronomie übersetzt wurden. Zum anderen lag es an den Vorlieben von Boethius, auf dessen Schrift De institutione musica sich die mittelalterliche Theorie fast ausschließlich stützte. Dieser vertrat die pythagoräische Philosophie und stellte darum auch das pythagoräische diatonische Tonschrittschema als wahres Fundament dar. Boethius kannte zwar verschiedene griechische Quellen, aber die ptolemäische Diskussion der syntonischen Diatonik spielte in seiner Darstellung kaum eine Rolle. Und nicht zuletzt lag es an Ptolemäus selbst, da er in der Harmonik der Terz keinerlei musikalische Beachtung schenkte.

Zurück zur musikalischen Praxis und der Frage möglicher Mehrstimmigkeit. Hier ist zwischen Gesang und Begleitung zu unterscheiden: Auch wenn instrumentales, zweistimmiges Begleiten für das antike Griechenland ebenso denkbar sind wie für das frühe Mespotamien, gibt es keine Hinweise auf zweistimmigen Gesang, sieht man vom Singen im Oktavabstand ab.

Zusammenfassend kann man sagen, dass sich in der Antike das Konzept des diatonischen Tonschrittschemas auch formal als ein wichtiges Grundkonzept durchgesetzt hatte. Durch die bewusst unscharf formulierten Definitionen von Aristoxenos wurde das Konzept der Diatonik und des Ganztons verallgemeinert. Eine diatonische Tonschrittleiter hatte so zwar immer noch dasselbe Muster aus Ganz- und Halbtonschritten wie beim pythagoräischen diatonischen Tonschrittschema, aber die konkreten Frequenzverhältnisse konnten abweichen.

Was die konkreten Stimmungen angeht, war die Musiktheorie der Antike zerrissen zwischen einem mathematisch-minimalistischen Ansatz (Pythagoräer) und einer ausufernden Suche nach musikalischen Alternativen auf mikrotonaler Ebene, sowohl mit empirischen Methoden (Aristoxenos), wie auch mit mathematischen Methoden (Ptolemäus). Erstaunlich bei den Pythagoräern ist, wie lange sie an der Beschränkung auf die Verhältnisse 3:2 und 4:3 festhielten. Bei der Suche nach musikalischen Alternativen andererseits gab es keine klaren Favoriten. Der mikrotonale Tetrachord-Ansatz muss im Rückblick eher als Experimentieren mit exotischen Intervallen gesehen werden, der mehr zur östlich-arabischen Musikkultur beitrug als zur westlichen. Immerhin hatte auch die reine große Terz einen ersten Auftritt, der aber unbemerkt blieb.

Frühmittelalter - Gesangliche Mehrstimmigkeit

Die weitere Entwicklung der Musik im Frühmittelalter, insbesondere der nichtreligiösen, können wir aufgrund des Fehlens von schriftlichen Zeugnissen nur spekulativ darstellen, werden das aber nicht ständig betonen.

Bei den Theoretikern war das pythagoräische diatonische Tonschrittschema (s.o.) beliebt, schließlich war es auf elegante mathematische Weise konstruiert und enthielt viele Quinten und Quarten. Selbst für die Praktiker gab es zunächst keinen Grund, diese Tonstufenleitern abzulehnen, da die etwas schiefe Terz beim einstimmigen Singen wenig auffiel, bzw. unbewusst ausgeglichen wurde. Die pythagoräische diatonische Tonstufenleiter war so seit der Antike der de-facto-Standard in der abendländischen Musik.

Mit dem sich verbreitenden Christentum zeichnete sich im Abendland eine Spaltung der Musik in weltliche, von der Landbevölkerung praktizierte Musik und in kirchliche Musik ab. Während die kirchliche Musik dem Gottesdienst, der inneren Einkehr und dem Lobpreis diente, sollte die volksnahe Musik unterhalten und, wenn möglich, für den Tanz geeignet sein.

Durch häufiges Zusammensingen in der weltlichen Musik entwickelte sich wohl von selbst eine gewisse Mehrstimmigkeit. Ohne die Last irgendwelcher theoretischer Überlegungen sollte dieser gemeinsame Gesang einfach gut klingen. Der Ditonus wurde als angenehmes Intervall erkannt, zumindest wenn man ihn als reine große Terz intonierte. Nach Ptolemäus könnte die Intonation von Ditonus als große reine Terz durchaus schon in der Antike verbreitet gewesen sein (Ptolemäus02). Es entwickelte sich beim Gesang die naheliegende Zweistimmigkeit, bei der eine Hauptstimme durch eine annähernd parallel geführte Zweitstimme begleitet wurde, mit Schwerpunkt auf der Benutzung von Terzen und deren Komplementärintervallen. Diese vokale Zweistimmigkeit ist spätestens für das mittelalterliche England belegt und mit dem Begriff „Gymel“ (BRKlassik01) verknüpft. Sie reicht aber vermutlich weiter zurück bis in das Frühmittelalter, praktiziert in den Gebieten von Wales und Skandinavien, wie Aussagen von Gerald von Wales nahelegen (Miller01, Stackexchange01, Geraldus01, Riemann01).

In der kirchlichen Musik sah die Sache anders aus. Zum einen durfte Musik nicht unterhalten, zum anderen musste sie mathematisch rein sein. Die Entwicklung mündete in den einstimmigen Gregorianischen Gesang mit verschiedenen Start- und Ruhepunkten (Modi) im pythagoräischen diatonischen Tonschrittschema. Zwar verschlossen sich die kirchlichen Musiker nicht ganz der Zweistimmigkeit, doch wurde sie schnell auf Quarten und Quinten beschränkt. Wie oben schon angedeutet, gab es dafür zwei widersprüchliche Gründe: Einerseits betrachteten die Musiktheoretiker den den Ditonus 2Τ nicht als Konsonanz, mit seinem formal unreinen Verhältnis 81:64, was in der Tradition der pythagoräischen Sichtweise stand. Anderseits klang die reale Terz vielen Gläubigen im Vergleich zu Quinten und Quarten zu interessant und farbig, und sie mussten fürchten, von ihrem eigentlichen strengen Ziel ihres Gesanges abgelenkt zu werden.

Die große Terz wurde darum zunächst nur für Übergangsschritte akzeptiert, etwa um bei der Parallelbewegung den noch viel schlimmeren Tritonus 3Τ, den „diabolus in musica“ (Verhältnis 729:512) zu vermeiden. Diese einfache Mehrstimmigkeit, die im Wesentlichen auf der Parallelführung mit Quarten oder Quinten basierte, wurde als erste Form des Organums bekannt.

Der praktische Gebrauch solcher einfacher Mehrstimmigkeit im klösterlichen Umfeld ist bereits für das Jahr 900 belegt. 2013 wurde die bis dato früheste Notation eines zweistimmigen Gesanges entdeckt, angefertigt wohl in einem rheinländischen Kloster (UniCam01).

Hochmittelalter - Terzen in der Kunstmusik

Die Ähnlichkeit von 2Τ und der reinen großen Terz (s.o.) war theoretisch schon aus der Antike bekannt. Auch der Höreindruck bestätigte, das der Ditonus in der Praxis oft gar nicht so schlecht klang wie die pythagoräischen Theoretiker behaupteten. Man begann, die beiden Intervalle immer mehr miteinander zu identifizieren. Die Intonation von 2Τ als reine große Terz hatte sich um 1300 allgemein durchgesetzt, wie etwa der englische Benediktinermönch und aufmerksame Musiktheoretiker Walter Odington um diese Zeit notierte. Mit der Rechtfertigung, dass es sich ja um die reine große Terz (5:4)' und nicht um (81:64)' handle, konnte die große Terz nun ohne schlechtes mathematisches Gewissen zumindest in der Aufführungspraxis eingesetzt werden. Die Identifikation von 2Τ mit der reinen großen Terz führte zwangsläufig zur Identifikation von Τ+Η als reine kleine Terz (6:5)'.

In einer Zeit des Glaubens waren im Mittelalter religiöse Gedanken und religiöse Musik auch außerhalb der Kirche präsent. Andererseits waren Kleriker gut ausgebildet und deren Wissen und Kunst auch an Adels- und Königshöfen gefragt. So entstand eine Schicht von Klerikern, die zwar eng mit der Kirche verbunden waren, aber auch in Diensten weltlicher Herrscher standen. Gerade für Musiker war das ein ideale Kombination: Die kirchliche Anstellung sicherte das Einkommen, und bei Hofe konnte man zusätzlich Ansehen gewinnen und sich künstlerisch entfalten. Der spätere Bischoff Philippe de Vitry (1291–1361) war Komponist und Musiktheoretiker, auch in weltlicher Anstellung, der mehr als reine Zweckmusik schuf. Auf ihn geht die Ars nova zurück, ein hochentwickelter mehrstimmiger kirchlicher Gesang, bei der Terzen ihr erstes, noch seltenes Auftreten in der Kunstmusik haben.

Wieder einmal war es England, wo der weltliche Kleriker und Komponist John Dunstable (ca. 1390–1453) die Benutzung von Terzen und Sexten zum Stil ausbaute, der als Contenance angloise bekannt wurde. Bei ihr fließen die Stimmen deutlich konsonanter als in der bisherigen, streng kontrapunktischen Polyphonie. Dieser Stil wurde aufs Festland exportiert und fand dort schnell Verbreitung.

So benutzten zwar irgendwann sowohl weltliche wie auch kirchlich-orientierte Musiker Terzen in ihrer Mehrstimmigkeit, die Theoretiker aber haderten noch lange damit wegen der scheinbaren Unvereinbarkeit von Theorie (pythagoräische große Terz 2Τ, formal eine Dissonanz) und Praxis (reine große Terz, gehört eine Konsonanz). Doch genau solch eine Vereinigung wurde immer mehr gefordert, denn die Theorie sollte der Praxis nicht mehr hinterherhinken. Das pythagoräische Ideal der Quintenschichtung als Konstruktionsprinzip des diatonischen Tonschrittschemas wurde zusehends als ungenügend empfunden.

Spätmittelalter/Frühe Renaissance ‒ Akkorde und Dreiklänge

In der kirchlichen und christlich-höfischen Musik, mit ihrem Schwerpunkt auf modalem mehrstimmigen Gesang, waren Dreiklänge (s.o.) zunächst Nebenprodukte in der Führung mehrerer Stimmen. Insbesondere in der Contenance angloise konnten diese häufig auftreten. Doch entwickelten sich auch Kompositionstechniken wie der Fauxbourdon, bei denen Dreiklänge gezielt provoziert wurden. Beim Fauxbourdon laufen die oberen beiden Stimmen im Quartabstand, und die untere Stimme bildet mit ihnen zusammen oft einen Dreiklang, bei dem sie die Terz des Dreiklangs darstellt. Dies ergibt praktisch eine Parallelführung von Dreiklängen in erster Umkehrung. Auf diese Art tauchten Dreiklänge bei Komponisten wie Guillaume Dufay (1397–1474) und Gilles Binchois (ca. 1400–1460) auf.

Dennoch blieben Dreiklänge ein Ergebnis von Stimmführung, nicht die Grundlage von Musikstücken. Insofern waren Dreiklänge auch kein Gegenstand theoretischer Überlegungen.

Während des Mittelalters gewann auch die weltliche und nichtreligiös-höfische Musik mehr an Gewicht und Sichtbarkeit. Fahrende Spielleute verbreiteten Lieder, bei denen oft der Text im Mittelpunkt stand. So entstand eine Notwendigkeit, mit Instrumenten nicht nur Melodie, sondern auch auf einfache Weise eine Begleitung spielen zu können. Da kam der Import der arabischen Stimmtechnik der Laute gerade richtig: Hier wurde die Laute nicht mehr diatonisch auf vielen Saiten gestimmt, sondern Intervall-basiert mit Quarten und Terzen auf weniger Saiten. Man konnte damit leichter Akkorde spielen und in Akkorden denken. Langsam entwickelte sich damit eine „vertikalere" Sichtweise, und sicher wurden hier auch Dreiklänge entdeckt. In den von Francesco Spinacino um 1500 in Lautentabulator-Notation herausgegeben Stücken sind klar Tonika, Dominante und seltener Subdominante zu erkennen. Wahrscheinlich war das Dreiklang-Bewusstsein aber schon deutlich früher vorhanden, denn in den anspruchsvollen Instrumentalstücken Spinacinos wirken sie fast banal.

Renaissance ‒ Dreiklänge und Tonalität

Während der Renaissance entwickelte sich in der Unterhaltungsmusik und in Tänzen eine Art praktische Tonalität (s.o.), teilweise mit unterstützender Funktion des Basses. Die kurze Schlusskadenz mit Dominantauflösung wurde Standard. Aber auch längere Akkordsequenzen inklusive Subdominante und Mollparallele wurden benutzt. Man erkennt zwei verschiedene Ströme:

Zum einen traten Dreiklänge und Tonalität im weltlichen mehrstimmigen Gesang auf, wie in den populären französischsprachigen Liedern des Klerikers und Hofmusikers Claudin de Sermisy (~1490–1562). Im Gegensatz etwa zum Fauxbourdon waren alle Stimmen festgelegt und festgehalten. Das war auch notwendig, da sie sich zwar nicht rhythmisch aber in der Tonhöhe viel freier entwickelten. Diese Gesangsstücke wurde typischerweise bei festlichen Anlässen wie Banketten oder privaten höfischen Zusammenkünften am französischen Königshof aufgeführt, teilweise auch mit Instrumentalunterstützung. Da die Kompositionen in Druck gingen, verbreiteten sie sich schnell in Paris und darüber hinaus, und wurden gern auch in städtischen Kreisen gesungen. Erleichtert wurde dies durch die recht einfache Struktur und Stimmführung der Lieder, verglichen mit der kontrapunktischen Stimmführung religiöser Stücke. Und natürlich durch die französische Sprache im Gegensatz zu Latein.

Aber auch in der Instrumentalmusik und der instrumentellen Begleitung von Gesang tauchten Dreiklänge vermehrt auf, wobei die Basslinie zunehmend an Stützfunktion gewann. Wesentlich dazu beitragen hatte sicher die Benutzung Akkord-fähiger Instrumente, wie der mit Quarten und Terzen gestimmten Laute, ein Import aus der arabischen Welt. Spätestens um 1500 waren bei bei Lautenspielern Durakkorde mit Funktionen wie Tonika und Dominante bekannt und üblich.

Mit der Zeit etablierten sich feste, zu wiederholende Akkordfolgen als Grundlage für melodische Variation, ganz so wie im neuzeitlichen Blues-Schema oder doo-wop Turnaround. Durch die periodische Struktur mit Wiederholung von Passagen wurden darauf basierende Stücke einprägsam und tanzbar. Waren die nordeuropäischen Akkord-Schemata stark Dur-lastig und einfach, entwickelten sich in Spanien und später Italien wildere und exotischere Akkord-Schemata mit komplexer Tonalität inklusive Dur/Moll-Wechseln. Beliebte komplexere Akkord-Schemata dieser Zeit waren etwa Folia, Passamezzo, oder Romanesca:

Das bekannte englische Lied Greensleeves, das vermutlich um 1580 entstand und eine Mischung von Passamezzo und Romanesca darstellt, klingt aufgrund dieses neuen Liedkonzepts und der starken Tonalität erstaunlich modern.

Bemerkenswert ist noch, dass in den drei erwähnten Schemata schon Dominanten auf einer Moll-Tonika benutzt werden. Dies passt eigentlich nicht in die diatonische Sichtweise (in einem Stück sowohl G-Dur und E-Dur, als Dominante zur Dur-Parallelen und echte Dominante zu A-Moll). Will man das nicht zwanghaft als Modulation oder reine Leittonbildung ansehen, kann sich das eigentlich nur durch die Benutzung von Akkorden auf mehrstimmigen Instrumenten wie der Laute entwickelt haben. Hier sieht man schon eine selbstbewusste, sogar chromatische Tonalität unabhängig jeder theoretischen Grundlage wie der Diatonik.

Renaissance – Reine Durtonstufenleiter

Die Renaissance war durch die erneute Beschäftigung mit den Originalarbeiten der Antike und deren Ideen gekenntzeichnet. In manchen Fällen war dazu die Beherrschung der griechischen Sprache notwendig. Nach einigen Vorarbeiten anderer präsentierte Gioseffo Zarlino 1558 (Zarlino01) erneut das schon von Ptolemäus in griechischer Sprache vorgestellte syntonische diatonische Tonschrittschema (s.o.), in der Form der reinen Durtonstufenleiter, wobei er Ptolemäus klar als Urheber nennt. Anders als Ptolemäus hebt Zarlino die Besonderheit dieses Tonschrittschemas und dieser Tonstufenleiter heraus. Es begründet sie in Buch II, Kapitel 39 indem er das Tetrachord über Teilungsprozesse einfacher Intervalle konstruiert. Zwar spricht er oft von „harmonischer Teilung" der Proportionskomponenten, tatsächlich macht er aber arithmetische Teilungen: Er teilt die Oktave 1:2 = 2:4 in 2:3:4, und die entstehende Quinte 2:3 = 4:6 in 4:5:6. Damit hat er bei Benutzung geeigneter Ganztöne eigentlich schon das Tetrachord gefunden. Er sagt abschließend: „ Alle Intervalle des tetrachordum diatonicum syntonon des Ptolemäus haben ihren Ursprung in der harmonischen Teilung der Oktave. Damit ist dieses Tetrachord so geteilt und angeordnet, wie es die Natur und Neigung der harmonischen Zahlen [...] verlangen."

Warum die Quinte gerade als 4:5:6 geteilt werden sollte, scheint bei Zarlino an den Zahlen selbst bzw. am Teilungsverfahren zu liegen, nicht etwa daran, dass Terzen angenehm klingen. Dieses Vorgehen mutet pythagoräisch an, auch wenn er nun die nicht-pythagoräischen, komplexeren Intervalle 5:4 und 6:5 einbezieht, indem er den Satz an einfachen Zahlen von 1, 2, 3, 4 zu 1, 2, 3, 4, 5, 6 erweitert, zu seinem „Senario“. Zarlino definiert im Gegensatz zu Ptoleäus tatsächlich die Durtonstufenleiter (s.o.), also das Tonschrittschema und einen spezifischen Grundton, auch wenn die Motivation für die genaue Form der Konstruktion nicht ganz klar wird. Die Terz ist für ihn dabei ein grundlegendes Intervall, während sich Ptolemäus nur an Quarten und Schritten orientiert.

Durch Zarlino's Werk wurde die reine Durtonstufenleiter populär und Reinheit wurde zu einem bekannten Thema. Mit ihr, oder genauer gesagt, dem reinen Durtonschrittschema, wurden reine Terzen endlich auch theoretisch integriert und gewürdigt. Gleichzeitig war dies auch die Öffnung von Pandora's Büchse der Stimmungen.

Zarlino's reine Durtonstufenleiter führt unerwarteterweise auch einen ausgezeichneten Grundton im diatonischen Tonschrittschema ein, dessen Wahl durch Zarlino nicht befriedigend begründet wird. Vielleicht war die Wahl motiviert durch die mittlerweile gefühlte Tonalität.

Barock ‒ Reife der Tonalität

Ab dem frühen Barock fanden Dreiklänge und Generalbass auch Einzug in dramatische Werke anspruchsvoller Komponisten wie Claudio Monteverdi (1567–1643). Allerdings setzt dieser Dreiklänge bewusst experimentell und expressiv sein, kaum funtional; das klingt insgesamt eher „modern-avantgardistisch“ und damit ganz anders als die harmonischen Lieder Sermisys hundert Jahre zuvor.

Erst mit Arcangelo Corelli wurden ab 1650 Dur/Moll-Dreiklänge und echte Dominant-Tonika-Auflösungen zum Standard in der orchestralen Musik. Dreiklänge und Tonalität waren nun Grundlage und Bezugssystem von Musikstücken. Voll ausgeprägt war das tonale System dann ab 1700 bei Johann Sebastian Bach.

Es wurde klar, dass die diatonische Tonstufenleiter nur bei einem einzigen Startpunkt die Dur-Dreiklänge auf Grundton, Quarte und Quinte enthielt, also Tonika, Subdominante und Dominante. Waren in der vor-tonalen Zeit noch alle Startpunkte gleichberechtigt, führten jetzt Tonalität und die Bedeutung des Dur-Dreiklangs zu einem bevorzugten Startpunkt („Grundton“) im zyklischen Muster des diatonischen Tonschrittschemas, um damit zur Promimenz der Durtonstufenleiter. Auch wurde klar, dass die Konzepte von Tonika, Subdominante und Dominante viel besser zu Zarlino's reiner Durtonstufenleiter passten als zu der pythagoräischen.

Diese neue tonale Sichtweise wurde erstmals 1722 von Jean-Philippe Rameau in Traité de l’harmonie beschrieben, und in modernerer Form rund 100 Jahre später von Moritz Hauptmann. Rameau stellt hier den Dreiklang ins Zentrum, dessen Grundform durch Terzschichtung entsteht. Umkehrungen verändern nur die Lage, nicht die Identität. Als stabile Einheit bildet der Dreiklang die Grundlage der Klangstruktur; im Bass wird er gestützt durch den Grundton des Dreiklangs (also den untersten Ton des Doppelterz-Dreiklangs); Dreiklänge haben bestimmte Funktionen: Tonika = Ruhepunkt, Dominante = stärkste Spannung zur Tonika, Subdominante = Vorbereitung. Rameau liefert auch eine der ersten systematischen Erklärungen, warum die Dominante zur Tonika drängt.

Die tonale Sichtweise auf die Durtonstufenleiter

Wir zeigen jetzt: Vereinigt man Tonika, Dominante und Subdominante, also die Dur-Hauptfunktionen der Tonalität, ergibt sich gerade die Durtonstufenleiter; nimmt man zusätzlich die Reinheit von Tonika, Dominante und Subdominante an, erhält man entsprechend die reine Durtonstufenleiter.

Man sieht dies so: Das Frequenzverhältnis eines Tons ergibt sich als Produkt aus Frequenzverhältnis des Dreiklang-Grundtons zum Grundton und Frequenzverhältnis des Tons zum Dreiklang-Grundton:

Vereinigt man die resultierenden Frequenzverhältnis, erhält man gerade die reine Durtonstufenleiter.

Mit dieser Erkenntnis kann man die Durtonstufenleiter nun auf ein anderes Fundament bauen. Statt sie auf die Quintenschichtung zu bauen und später durch musikalische Praxis zur Tonalität zu gelangen, kann man sie auch direkt auf die Tonaliät gründen. Hier etwas genauer ausgeführt:

Beim pythagoräischen diatonischen Tonschrittschema erhielt man erst aufgrund der Tonalität einen ausgezeichneten Grundton und damit die Durtonstufenleiter: Es ist diejenige diatonische Tonstufenleiter, bei der Tonika, Dominante und Subdominante in ihrer Funktion existieren. Startet man umgekehrt direkt mit Tonika, Dominante und Subdominante, also Grundton, Quinte und Quarte mit darüberliegenden Durakkorden, erhält man auch hier ein diatonisches Tonschrittschema, doch in diesem Fall ist die Konstruktion musikalisch motiviert.

Und abstrakter, wenn man von Reinheit absieht, also die exakte Stimmung ignoriert, und über generische Durakkorde und Durtonstufenleitern spricht:

Erst Hugo Riemann (1849–1919) formulierte die Erkenntnis, dass die drei Hauptfunktionen Tonika, Dominante und Subdominante den diatonischen Tonraum definieren (etwa in Vereinfachte Harmonielehre, 1893). Die explizite Aussage, dass die Durtonstufenleiter durch die Vereinigung von Tonika, Dominante und Subdominante definiert ist, erschien dann in Lehrbüchern des zwanzigsten Jahrunderts, die auf Riemann Bezug nahmen.

Hiermit liegt nun eine musikalisch motivierte Definition der Durtonstufenleiter vor, die per Definition Tonika, Dominante und Subdominante erzeugt, diatonisch ist, und Reinheit von den Dreiklängen in die Tonstufenleiter überträgt. Mit dieser Definition kann man endlich komplett auf das Konzept der Quintenschichtung verzichten.

Man muss sich jetzt allerdings fragen, ob bzw. wann die Durtonstufenleiter ohne den holprigen Umweg über die Quintenschichtung überhaupt entstanden wäre. Oder anders gesagt: Die saubere und nachvollziehbare Definition der Durtonstufenleiter über Tonalität hätte man wohl nie gefunden, wenn nicht davor bereits eine unsaubere und zufällige Konstruktion des diatonischen Tonschrittschemas existiert hätte.

Die tonale Begründung der Durtonstufenleiter ist damit zwar elegant, hat aber mit der historischen Entwicklung wenig zu tun. Auch wenn es also den mathematischen Musiker oder den musikalischen Mathematiker schmerzt: Die Durtonleiter ist nichts perfektes. Sie ist ein Zufallsprodukt, das nur aufgrund der Imperfektion unseres Gehörsinns funktioniert, aber das ziemlich gut.

Oder doch schon früher?

1.) Wir hatten uns auf den westlichen Kulturkreis konzentriert. Aber auch die klassische indische Musik kennt die Form der Durtonstufenleiter, die Tonstufenleiter der 7 „shuddha Svaras“ (den 7 „reinen Tönen“), die ebenfalls zu 12 Svaras erweitert werden. Zwar ist die indische Musik sehr verschieden von der westlichen, doch die diatonische Grundform scheint gleich zu sein, wenn auch die diatonische Form nur eine von mehreren ist. Erstaunlicherweise hat hier die Durtonleiter ganz klar eine Sonderstellung im diatonischen Tonschrittschema. Es könnte sein, dass die Durtonleiter mit den indoarischen Migrationen von Westen nach Indien kam, manche Autoren nennen auch Mesopotamien als Quelle (Massey01). Aber gab es dann schon in Mesopotamien oder gar in der Kurgan-Kultur / Jamnaja-Kultur die Durtonleiter? Dies würde die Nutzung der Durtonleiter tausende Jahre vorverlegen. Oder war dies eine Parallelentwicklung in Nordindien? Dies ist nicht abschließend geklärt, aber vieles spricht für einen kulturellen Austausch und und eine gemeinsame Wurzel, welche zumindest das diatonische Tonschrittschema sein könnte. Denn für die Entwicklung des diatonischen Tonschrittschema ist Quintenschichtung das wesentliche Hilfsmittel, und diese ist eine nicht-triviale kulturelle Errungenschaft, und nicht wie oft behauptet physikalisch vorgegeben.

2.) Es gibt Hinweise, dass die frühe englische Mehrstimmigkeit außer Terzen auch schon Tonalität und Bevorzugung der Durtonleiter vorwegnahm, Jahrhunderte bevor die gleiche Entwicklung in der gesamteuropäischen Musik stattfand (Sanders01).

3.) Der erste Festlandeuropäer, der den Grundton der Durtonstufenleiter gesichert bevorzugte, war der Benediktinermönch und Musiktheoretiker Guido von Arezzo um das Jahr 1020. Er nutzte die ersten sechs Tonstufen der pythagoräischen Durtonstufenleiter, also den Hexachord 0, Τ, 2Τ, Β−Τ, Β, Β+Τ, als Grundlage seiner später weit verbreiteten Musiklehre. Auch er scheint damit seiner Zeit voraus zu sein. Für die Diskussion eines möglichen Grundes siehe Hagel02.

Vielleicht ist also die Bevorzugung der Durtonleiter viel älter als gedacht, nur fehlen uns eben Quellen, die das belegen könnten.

Resümee

Rückblickend kann man sagen, dass zur Entwicklung der Durtonstufenleiter drei Bestandteile wesentlich beigetragen haben:

Quellen zu Spezialthemen

Bildnachweise

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